どうしても捨てるのに抵抗があるなら、神社やお寺でお焚き上げをしてもらうという方法もあります。お焚き上げとは、不用になった愛用品などを感謝しながら燃やす儀式。
想いを込めたものには気持ちが宿り、それを炎の力で清める行事です。年賀状の供養と言えるでしょう。お世話になった人からの年賀状の扱いとして、最上の方法かも知れません。
神社やお寺がお焚き上げをしてくれる時期は一般的に正月三が日が多く、長くても10日くらい。
さらに神社やお寺によっては年賀状のお炊き上げを受け付けていないところもあるので、確認が必要です。